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フィボナッチ数列の計算量について

フィボナッチ数列の計算量について
© Reuters. 欧州中央銀行(ECB)は9日、量的緩和措置である資産購入プログラム(APP)を7月1日に終了すると表明するとともに、7月から利上げを開始する方針を示した。写真はECB本

ECB、量的緩和終了し7・9月利上げ インフレ次第で大幅引き締め

経済全般 2022年06月10日 03:45

ECB、量的緩和終了し7・9月利上げ インフレ次第で大幅引き締め

© Reuters. 欧州中央銀行(ECB)は9日、量的緩和措置である資産購入プログラム(APP)を7月1日に終了すると表明するとともに、7月から利上げを開始する方針を示した。写真はECB本

[フランクフルト/アムステルダム 9日 ロイター] - 欧州中央銀行(ECB)は9日、量的緩和措置である資産購入プログラム(APP)を7月1日に終了すると表明するとともに、7月から利上げを開始する方針を示した。また、インフレが鎮静化しなければ、9月に大幅な利上げを行う意向も示した。

[10日 ロイター] - <為替> ドルが上昇し、約4週間ぶり高値水準となった。米消費者物価指数(CPI)の高止まりで米連邦準備理事会(FRB)が9月まで利上げを継続せざるを得.

ECB、利上げへの「旅路」始まったばかり=独連銀総裁

[カールスルーエ(ドイツ) 10日 ロイター] - 欧州中央銀行(ECB)理事会メンバーのナーゲル独連銀総裁は10日、金融政策の正常化には程遠いところにいるとし、ECBの利上げ.

ロシア中銀、政策金利9.50%に引き下げ侵攻前水準に 追加も示唆

[モスクワ 10日 ロイター] - ロシア中央銀行は10日、政策金利を11%から9.5%に150ベーシスポイント(bp)引き下げ、ウクライナ侵攻前の水準に戻した。インフレ率が約2.

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フィボナッチ数列の計算量について フィボナッチ数列の計算量について
日経平均株価27,824.29-422.24-1.49%
日経225先物 (F)27,350.0-950.0-3.36%
韓国総合株価指数2,595.87-29.57-1.13%
NYダウ31,392.79-880.00-2.73%
独DAX13,フィボナッチ数列の計算量について 761.83-436.97-3.08%
S&P/ASX 2006,フィボナッチ数列の計算量について 932.00-87.70-1.25%
米ドル指数104.235+1.017+0.99%
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1,875.20+22.40+1.21%
原油 WTI120.47-1.04-0.86%
21.910+0.093+0.43%
米国綿花2番145.59-0.92-0.63%
排出権82.80+1.79+2.21%
米国シカゴコーン773.10+1.10+0.14%
米国コーヒー228.13-6.52-2.78%
ドル/円134.フィボナッチ数列の計算量について 40+0.07+0.06%
ドル/ウォン1,279.フィボナッチ数列の計算量について 24+14.85+1.17%
ユーロ/ドル1.0517-0.0097-0.91%
ユーロ/円141.37-1.22-0.85%
トルコリラ/円7.8545+0.0450+0.58%
豪ドル/円94.76-0.56-0.59%
ポンド/円165.54-2.23-1.33%
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大塚ホールディングス4,436.0-29.0-0.65%
ソフトバンクグループ5,545.0-114.0-2.01%
トヨタ自動車2,203.5-35.5-1.フィボナッチ数列の計算量について 59%
三菱UFJフィナンシャル・グループ745.0-2.9-0.39%
ブイ・テクノロジー2,945.0-75.0-2.48%
東芝5,669.0-45.0-0.79%
みずほフィナンシャルグループ1,506.0-22.0-1.44%

来週の相場で注目すべき3つのポイント:米FOMC、米中小売売上高、NY連銀製造業景気指数など

国内外の注目経済指標:米FOMC会合で0.5ポイントの追加利上げ決定へ

為替週間見通し:上昇一服か、0.5ポイントの米追加利上げは織り込み済み

米国防長官が中国批判、領有権主張で「より威圧的、攻撃的」

アングル:「職場はかまど」、インドの工場労働者を熱波が直撃

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1. ヒープの概要

ヒープ (heap) は優先度付きキュー (priority queue) の実装の1つです。優先度付きキューは集合 (set) を扱うデータ型で、集合に含まれる要素が何らかの優先度 (priority) 順に取り出されるという特徴を持っています。学会のポスター発表を回るときや、旅行先での観光地巡りでは、優先度に基づいて要素を取り出すことが重要になります。集合を扱う代表的なデータ型に、スタック (stack) と キュー (queue) がありますが、スタックは末尾 から、キューは先頭から要素が取り出されます。スタックでは要素を追加する毎に要素の優先度が増加し、キューでは減少すると考えると、どちらも優先度付きキューの1種と考えることができます。

2. ヒープの表現

上図に示したヒープは最小ヒープ (min heap) と呼ばれ、各ノードがその子ノードより小さいか等しくなっています。

左の図に示したように、最小ヒープにおいて、親ノードとその子ノードに着目したとき、親ノードは必ず最小になります。定義が逆になったものを最大ヒープ (max heap) と呼びます。以下この記事では最小ヒープのことをヒープと呼びます。

親ノードは、parent(i) = 4 / 2 = 2でインデックス2の要素になります。子ノードは、left(i) = 2 * 2 = 4、right(i) = 2 * 2 + 1 = 5となるので、インデックス8, 9の要素になります。

3. ヒープの構築

  1. min_heapify|あるノードとその配下のノードがヒープの条件を満たすようにする操作
  2. build_min_heap|任意の配列からヒープを作成する操作

各ノードについてmin_heapifyを繰り返し適用することで、ヒープを構築 (build_min_heap) します。

3.1 min_heapify

  1. あるノードとその子ノードはヒープの条件を満たさないが、
  2. 子ノードとその配下のノードがヒープの条件を満たすとき、

オレンジ色のノードに着目すると、9は2、3の両方より大きいので、ヒープの条件 (子ノードより小さいか等しい) を満たしません。

min_heapify(array, index)を木構造を表す配列arrayとインデックスindexを引数にとり、インデックスで指定されたノードとその子ノードがヒープの条件を満たすようにするメソッドと定義します。

上述の木構造をヒープにすることで、min_heapifyの動作を確認します。min_heapify(array, 2)によってインデックス2のノードとインデックス4のノードの配置を交換します。

min_heapify(array, フィボナッチ数列の計算量について 4)の実行によって、ヒープの条件を満たすようにします。

以上の操作で条件を満たさない木構造 (配列) フィボナッチ数列の計算量について をヒープにすることができました。

3.2 build_min_heap

4. ヒープの計算量

min_heapifyは配列の要素交換 (O(1)) を繰り返す操作のため、繰り返し回数に比例した計算量になります。最悪の繰り返し回数はmin_heapifyを適用した木の高さに一致します。よって根ノードが最終的に最も深い葉ノードを交換される場合に計算回数が多くなります。hを根ノードの高さとするとmin_heapifyの最悪計算量はO(h)となります。

図からbuild_min_heapの最悪計算量 (すべての内部ノードの計算量の合計) は、

以上の結果をまとめるとヒープ構築 (build_min_heap) の最悪計算量は、O(n)となります。またmin_heapifyの最悪計算量は、O(log n)となります。

5. ヒープの実装

Pythonのリスト (配列) のインデックスは0から始まるので、子ノード等のアクセスは次のようになります。

コード中の変数smallestに最小のノードのインデックスが格納されています。smallestiと一致しない、すなわちヒープの条件を満たさない場合 (if smallest != iがTrue) 、ノードが交換され、smallestのノードに対してmin_heapifyが実行されます。

6. ヒープソート

  1. 任意の配列について、build_min_heapでヒープを作成
  2. 配列の先頭と末尾の要素を交換
  3. 末尾の要素を配列から削除
  4. 先頭の要素 (インデックス0の要素) に対してmin_heapifyを実行
  5. 2に戻る

ヒープでは先頭から最小の要素取り出せます。先頭と末尾の要素を入れ替えてから要素を取り出すので、残った配列は先頭の要素に対してmin_heapifyを適用できる条件を満たします。この性質により、「2. 先頭と末尾の入れ替え」、「3. 末尾の要素削除」、「4. 先頭に対するmin_heapifyの適用」を繰り返すことでソートを実現できます。

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